十进位值制与筹算

大明宫中学数学组

我国古代数学以计算为主，取得了十分辉煌的成就。其中十进位值制记数法与筹算在数学发展中所起的作用和显示出来的优越性，在世界数学史上也是值得称道的。十进位值制记数法曾经被马克思称为“最妙的发明之一”。

我国自有文字记载开始，记数法就遵循十进制了。商代的甲骨文和西周的钟鼎文，都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等字的合文来记10万以内的自然数。例如2656写作〓〓〓〓（甲骨文），659写作〓〓〓〓〓（钟鼎文）。这种记数法已含有明显的位值制意义，实际上，只要把“千、百、十”和“又”的字样取消，便和位值制记数法基本一样了。十进位值制记数法，是我国古代劳动人民一项非常出色的创造。十进，就是以十为基数，逢十进一位．位值这个数学概念的要点，在于使同一数字符号因其位置不同而具有不同的数值。例如4676这个数，同一个6在右数第一位表示的是个位的6，在右数第三位则表示600。

十进位值制记数法给计算带来了很大的便利，对我国古代计算技术的高度发展产生了重大影响。它比世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法要优越得多。据《易．系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。又据殷墟出土的甲骨文《卜辞》记载，约公元前1400年的商代，已有从1至9的9个数字符号，还有表示位数的4种符号，就是十、百、千、万，共有13个独立数字符号，记数用合文书写，其中有十进位值制的记数法，出现最大的数近三万。用这13个符号，已经可以轻易地表达10万以内的任何自然数。这些记数文字的形状，在后世虽有所变化而成为现在的写法，但记数方法却从没有中断，一直被沿袭，并日趋完善。印度则一直到公元6世纪还用特殊的记号表示二十、三十、四十……等十的倍数，7世纪时才有采用十进位值制记数法的明显证据。现在人们日常生活中所不可或离的十进位值制，是中国的一大发明。十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。

中国是世界上最早采用十进位值制的国家。中国古代数学对世界文化的贡献，首推十进位值制。远在四五千年以前，中国就已使用了十进位值制。所谓位值制，就是同一数字如果处在不同的位置（数位），就有不同的位置值（因而所表示的数值也就不同）。实际上，它表示所在位置相应一级计数单位的一定倍数，例如50205035，左边的5在千万位上表示5×10000000，中间的5在千位上就表示5×1000。位值制亦即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。比如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20(2*10)，放在百位上就表示200(2*10^2)……英国著名科技史专家李约瑟博士评价说：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

十进位值制记数法，是我们祖先对人类文明的一项不可磨灭的贡献。殷商甲骨文中一、二、三、四、五、六、七、八、九、十和百、千、万等的记数，后来逐步发展为筹算和珠算中逢十进一位的十进位值制，成了记数和计算领域的革命性发明。古代世界各国曾有十、十二、二十、六十等多种进位制，但现在都统一使用十进位值制。古巴比伦的记数法虽然有位值制的意义，但它是六十进位的，计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形的，例如用一只鸟表示十万。文化比较发达的古希腊，由于看重几何，轻视计算，记数方法十分落后，用全部希腊字母表示一到一万的数字，字母不够的时候就在字母旁边增加符号“‘”，如‘α表示一千，‘β表示二千等。现在世界通用的印度——阿拉伯数字和记数法市印度古代人民创造的，大约在十世纪时才传到欧洲。印度在公元三世纪以前使用的记数法是希腊式和罗马式两种，都不是位值制，真正使用十进位值制记数法出现在公元六世纪末，很可能受到中国的影响。由此可见，我国古代的十进位值制记数法，在世界数学史上应该占有重要的地位。

在计算数学方面，中国大约在商周时期已经有了四则运算，到春秋战国时期整数和分数的四则运算已相当完备。其中，出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”，堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶，这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的。从此，“九九歌”成为数学的普及和发展最基本的基础之一，一直延续至今。其变化只是古代的“九九歌”从“九九八十一”开始到“二二得四”止，而现在是由“一一得一”到“九九八十一”止。

中国早在商代就已经比较普遍地应用了十进制记数法，墨子则是对位值制概念进行总结和阐述的第一个科学家。他明确指出，在不同数位上的数码，其数值不同。例如，在相同的数位上，一小于五，而在不同的数位上，一可多于五。这是因为在同一数位上(个位、十位、百 位、千位……)，五包含了一，而当一处于较高的数位上时，则反过来一包含了五。十进制的发明，是中国对于世界文明的一个重大贡献。正如李约瑟在《中国科学技术史》数学卷中所说：“商代的数字系统是比古巴比伦和古埃及同一时代的字体更为先进、更为科学的”，“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”。

春秋战国时期是我国从奴隶制转变到封建制的时期，生产的迅速发展和科学技术的进步提出了大量比较复杂的数字计算问题。为了适应这种需要，劳动人民创造了一种十分重要的计算方法──筹算。第一，春秋战国时期，农业、商业和天文历法方面有了飞跃的发展，在这些领域中，出现了大量比以前复杂得多的计算问题。由于井田制的废除，各种形状的私田相继出现，并相应实行按亩收税的制度，这就需要计算复杂形状的土地面积和产量；商业贸易的增加和货币的广泛使用，提出了大量比例换算的问题；适应当时农业需要的历法，要计算多位数的乘法和除法。为了解决这些复杂的计算问题，才创造出计算工具算筹和计算方法筹算。第二，现有的文献和文物也证明筹算出现在春秋战国时期。例如“算”和“筹”二字出现在春秋战国时期的著作（如《仪礼》、《孙子》、《老子》、《法经》、《管子》、《荀子》等）中。一二三以外的筹算数字最早出现在战国时期的货币（刀、布）上。《老子》提到：“善计者不用筹策”，可见这时筹算已经比较普遍了。因此说筹算完成于春秋战国时期。但这并不否认在春秋战国时期以前就有简单的算筹记数和简单的四则运算。

算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。可以肯定的是，至迟到春秋战国，算筹的使用已经非常普遍了。关于算筹形状和大小，最早见于《汉书·律历志》。根据记载，算筹是直径一分（合○·二三厘米）、长六寸（合一三·八六厘米）的圆形竹棍，以二百七十一根为一“握”。南北朝时期公元六世纪《数术记遗》和《隋书·律历志》记载的算筹，长度缩短，并且把圆的改成方的或扁的。这种改变是容易理解的：长度缩短是为了缩小布算所占的面积，以适应更加复杂的计算；圆的改成方的或扁的是为了避免圆形算筹容易滚动而造成错误。根据文献的记载，算筹除竹筹外，还有木筹、铁筹、玉筹和牙筹，还有盛装算筹的算袋和算子筒。唐代曾经规定，文武官员必须携带算袋。 1971年八月中旬，在陕西宝鸡市千阳县第一次发现西汉宣帝时期（公元前73年到前49年）的骨制算筹三十多根，大小长短和《汉书·律历志》的记载基本相同。1975年上半年在湖北江陵凤凰山一六八号汉墓又发现西汉文帝时期（公元前179年到前157年）的竹制算筹一束，长度比千阳县发现的算筹稍大一点。 1980年九月，在石家庄市又发现东汉初期（公元一世纪）的骨制算筹约三十根，长度和形状同《隋书·律历志》的记载相近，这说明算筹长度和形状的改变早在东汉初期已经开始。算筹的出土，为研究我国数学发展史提供了可贵的实物资料。

筹算一出现，就严格遵循十进位值制记数法。九以上的数就进一位，同一个数字放在百位就是几百，放在万位就是几万。这种记数法，除所用的数字和现今通用的印度-阿拉伯数字形式不同外，和现在的记数法实质是一样的。筹算是把算筹一面摆成数字，一面进行计算，它的运算程序和现今珠算的运算程序基本相似。记述筹算记数法和运算法则的著作有《孙子算经》（公元四世纪）、《夏侯阳算经》（公元五世纪）和《数术记遗》（公元六世纪）。负数出现后，算筹分成红黑两种，红筹表示正数，黑筹表示负数。算筹还可以表示各种代数式，进行各种代数运算，方法和现今的分离系数法相似。我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就，和筹算有密切的关系。例如祖冲之的圆周率准确到小数第六位，需要计算正一万二千二百八十八边形的边长，把一个九位数进行二十二次开平方（加、减、乘、除步骤除外），如果没有十进位值制的计算方法，那就会困难得多了。筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活中，发挥了重大的作用。

也就是说，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13～350px，径粗0.2～7.5px，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十一枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？根据记载，用算筹记数，有纵、横两种方式：其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示一个多位数时，采用十进位值制，各位值的数目从右到左排列，纵横相间﹝法则是：“一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当”， 即个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推﹞，并以空位表示零。这样就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。因此，算筹为加、减、乘、除等运算建立了良好的条件。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。

那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是十进位值制的需要。其一是“十进制”，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是“位值制”，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的萌芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。

中国古代十进位值制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位值制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"，确实是一点也不过分的。

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