数学建模在初中数学中的应用

    摘要:数学模型就是根据研究目的,对所研究的过程和现象的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言,概括地、近似地表达出来的一种结构,即把所要研究的实际问题,通过数学抽象构造出相应的数学模型,再通过数学模型的研究使原问题获得解决的过程。

    数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,随着数学教学的不断深入,重视数学知识与现实生活的联系,发展学生的数学应用意识和应用能力,已成为数学教育发展的趋势。数学建模将实际问题抽象转化为数学模型,然后用数学方法求解模型,使问题得到解答,能够帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识与实践能力。本文谈谈如何在初中数学教学中渗透数学建模的思想与思维过程。

关键字:数学建模;中学数学建模;数学;应用

什么是数学模型

    我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来,用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构,称为数学模型。数学模型就是根据研究目的,对所研究的过程和现象的主要特征、主要关系,采用形式化的数学语言,概括地、近似地表达出来的一种结构,即把所要硏究的实际问题通过数学抽象构造岀相应的数学模型,再通过数学模型的研究使原问题获得解决的过程.

    数学建模是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称,数学建模就是应用建立数学模型来解决各种实际问题的方法,也就是通过对实际问题的抽象、简化,确定变量和参数,并应用某些“规律”建立起变量、参数间的确定的数学问题(也可称为一个数学模型),求解该数学问题,解释、验证所得到的解,从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程。

    数学建模将实际问题抽象转化为数学模型,然后用数学方法求解模型,使问题得到解答,能够帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识与实践能力.本文谈谈如何在应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程.

    什么是中学数学建模

    这里的“中学数学建模”有两重含义,

    一是按数学意义上的理解、在中学中做的数学建模。主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动,同其它数学建模一样,它仍以现实世界的具体问题为解决对象,但要求运用的数学知识在中学生认知水平内,专业知识不能要求太高,并且要有定的趣味性和教学价值。二是按课程意义理解,它是本文要展开讨论的,一种要在中学中实施的特殊的课程形态。它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程。学生要通过经历建模特有的过程,真实地解决一个实际问题,由此积累做数学、学数学、用数学的经验,提升对数学及其价值的认识。其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指导,影响学生的学习过程,改变传统的学习方式,实现激发学生自主思考,促进学生合作交流,提高学生学习兴趣,发展学生创新精神,培养学生应用意识和应用数学的能力,最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养。

    一、数学建模思想的基本步骤及意义

    数学建模的实质就是应用数学知识将复杂无章的实际问题抽象成符合逻辑的数学关系,然后将所有的数学关系组建成相应的数学模型的过程。数学模型建立的具体流程如下：

实际问题→假设化简模型→建立数学模型

    ↑                        ↓

    实际应用←模型验证与评价←模型求解

    1、合理分析问题。首先要对所需研究的问题进行深入的了解,全面分析问题产生的各方面原因,并且要尽可能多的掌握问题相关的背景资料。

    2、假设化简问题。掌握到问题的研究背景之后就要根据问题的具体特征以及问题的特定目的来对问题进行简化处理,同时还要用精确的数学语言将最终的数学模型描述出来,这一过程主要实现了将复杂无章的问题抽象成具体的问题。

    3、建立数学模型。数学模型是要建立在先前假设的基础上,通过运用适当的数学具和数学知识来刻画变量之间的数量关系,从而得出相应的数学结构。

    4、求解验证模型。在求解数学模型过程中要将其结果与实际情况进行对比,从而来验证求解结果的有效行和准确性。

    5、模型结果分析。模型结果往往能够体现岀所建立模型的可靠性。如果模型求解结果与实际情况相差较大,那么这个模型就不能够充分说明实际问题,此时就要对先前的模型进行适当的修改,然后重新建立薮学模型;如果模型求解结果与实际情况正好相符,那么就可以说这个模型是有实际意义的,此时就要根据实际问题来对模型结果做出合理的解释。

可以说数学建模是对数学思想和知识的实际应用,也可以说数学建模是解决实际问题的强有力工具。因为数学模型和数学建模不仅能够展示能力,不仅能使学生更好地掌握数学基础知识,学会数学的基本思想和方法,也能增强学生应用数学的意识,提高分析问题、解决实际问题的能力。

数学建模思想的基本步骤

    (1)模型准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。

    (2)模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化并用精确的语言提出一些恰当的假设。

    (3)模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构。(尽量用简单的数学工具）

(4)模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出计算(估计)

(5)模型分析:对所得的结果进行数学上的分析

    (6)模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性合理性和适用性。如果模型与实际较吻合,则要对计算结果给岀其实际含义,并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设,在次重复建模过程。

(7)模型应用:应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

二、数学建模应用的基本要求。

    在初中数学教学中数学建模的应用要结合具体的教学内容来对学生进行训练,一般情况下,教师首先需要创设特定的问题情境,然后对相应的问题建立数学模型,最后对可靠模型进行解释、应用与拓展,学生通过对问题的探讨和硏究可以实现真正意义上的“做数学”和“用数学”的过程,从而有助于培养学生的数学思维能力以及实际应用能力。

中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等,我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。

• 初中数学中常见的模型

1、建立方程模型

    方程组模型的建立主要是运用数学语言将问题中的相关条件抽象成若干个方程,并且要使其中的未知数能够满足每个方程,然后将这若干个方程组合在一起对问题进求解。现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程(组)〃模型则是研究现实世界数量关系最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、更清晰认识、描述和把握现实世界。

对现实生活中广泛存在的如增长率、储蓄利率、产品购销、工程施工、人员调配等含有等量关系的实际问题,通常可以通过构建方程(组)模型来解决

2、建立不等式(组)模型

    在现实世界中,正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的,如在市场经营、生产决策和社会生活中的估计生产数量、核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等许多问题中,很难确定(有时也不需要)具体的数值,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,建立不等式(组)模型,进而解决实际问题

    通过构建一元一次不等式(组)模型,把实际问题转化为一元次不等式组进行求解,一是要注意正确找出实际问题中的不等关系,二是要注意按照列不等式(组解应用题的基本步骤(审,设、列、解、答),求出符合题意的答案

在现实世界中,正如相等关系一样不等关系也是普遍存在的.如在市场经营核定价格、分析盈亏、估计产量、投资决策等许多问题中,可以通过挖掘实际问题所隐含的数量关系,构建不等式(组)模型加以解决.

3、建立函数模型

函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律现实生活中,诸多问题常可建立函数模型求解。

    函数揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律.对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如用料最省、成本最低、利润最大等,可以构建立函数模型,转化为求函数的最值问题

    4、建立三角模型

    在现实中我们经常会遇到如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题般说来,这些问题的解决通常可建立三角模型,转化为解三角形问题没

    三角模型与人类的生活密切相关.诸如测高、测距、航海、拦水坝、人字架等实际问题,一般说来,这些问题的解决通常可建立三角模型,转化为解三角问题进行求解。

    5、建立几何模型

    几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程定位、皮带传动边角余料加工、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何模型〃,把实际问题转化为几何问题加以解决

    几何与人类的生活密切相关.诸如工程定位、材料加工、拱桥计算、皮带动、残轮修复和跑道设计等,都涉及到几何图形及其性质,这就需要构建几何模型再将实际问题转化为几何问题进行求解

    6、概率统计模型

统计的内容只有非常丰富的实际背景,在现实世界中有着!泛的应用要接受统计的念,建立统计模型,最有效的方法是投入到统计的全过程中去,提出问趣,考虑抽样,收集数据,整理数据,分析数据,出决策,进行文流:评价改进等,并在这个过程中学习和掌统计的思想方法。

概率在社会生活及科学领域中用途常广泛,诸如抽奖游戏、彩票中奖祟走势,球队胜负等问题,常可构建率模型求解.统计的内容上有常丰富的实际背景,在现实世界中有着广泛的应月,要构过统计模型,最有效的方法是投入到统汁的全过程之中,是出问题、进行扣样、收集数据、整理效据、分析数据、做出讽策,在这个过程中学习、掌握和运用统计的思想方法

四、用数学模型解决实际问题可以达到以下目的

    1.用数学模型解决实际问题便与理论联系实际

数学教学中,往往忽视运用数学知识解决实际问趣的所谐“掐头去尾烧中断”的教学方法,使得中学数学脱离现实生活。因此,解题中要注意引导学生联系日生活,把日常生活中的一些实际问题用数学来解决。要亘视从实际问题十建立数学模型,解决数学问题,从而解决实际问题这个全过程。通过数学模星方法解题,可以把数学与际问题沟通起来,可相渗透,互相转化,是数学更生上扎根于实际

2.用数学模型解决实际问题,能高学生学习兴趣。

    不少学生感到数学枯燥无味,所以要数数学学过程中充满乐趣数学模型是从实际提炼出来,盯后又用之解决问题,可激发学生极大的兴趣;学会了主动学丬,学会了去索取白己所要学的知识:对数学有了部的认识,学习数学的兴趣更高了,更白觉了

    3.用数学模型解决实际问题,有助于培养学生创造

    在高分下令人忧虑的是,中学生应用意识薄弱,动手能力差,虽善丁解题,但创造能力差,而运用数学模型解题恰能起到攻善作用。数学巫具有激趣、求异、探究的特点,使学生思维处于活跃状态:多角度、多层次的观察、认识、思考问题,使学充分发挥白己的想象力和主双能动性。独立思考,大胆求索，标新立异,积极提出自己的新观点、新思路、新方法,从地位特点上说带有探索性,在方法形式上富有创造性,有助于培养学生的创新思维和创造性能力。

    运用数学模型解决实际问题,不仅体现了数学的应用价值,而且有助于学生灵活掌握数学知识和技能,它对于实施素质教育有着巨大的推动作用。

    在初中数学教学中结合教学内容有意识地介绍有关数学知识的实际背景及应用实例是非常必要的.它将有助于学生加深对数学的应用特征的理解,并能使学生得到数学应用的初步训练,应该给学生创造机会接触实际问题,并让他们尝试着解决这些实际问题,在应用中学习如何建立数学模型,运用数学的知识和方法解决实际问题,即如何“用数学”。

    综上,通过对实际问题建立有效的数学模型不仅可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握,而且还有助于调整学生的知识结构、深化知识层次。同时,学生也可以通过观察和收集、比较和分析等一系列认识活动来完成建模过程,以充分掌握数学及相关学科的内在联系,从而感受到数学的广泛应用。另外,通过数学建模还能够培养学生应用数学意识和自主创新精神,使学生能够成为数学学习的主体。因此在初中数学课堂教学中,教师应该逐步培养学生数学建模的思想、方法,形成学生良好的思维习惯和用数学的能力。